Аппараты с перемешивающими устройствами

Читать онлайн Аппараты с перемешивающими устройствами бесплатно

Введение

Монография охватывает почти полностью все проблемы, возникающие при проектировании химических и нефтяных аппаратов с мешалками, применен междисциплинарный подход к проблемам.

Материал монографии направлен на обмен опытом и облегчение работы инженерам-конструкторам аппаратов с механическими перемешивающими устройствами.

В монографии рассмотрены:

– теория расчета валов на основе теории колебаний, приведены примеры расчетов и построения эпюр

– теория расчета валов методом конечных элементов

– теория подбора мешалок, предложен новый подход к подбору мешалки с объединением подходов их химической технологии и проектирования лопастных устройств,

– приведен пример технологического расчета аппарата с мешалкой по критериальным зависимостям и модели идеальных реакторов с определением его геометрических размеров и расходов теплоносителей.

– приведена информация о большем физическом обосновании расчетов процессов перемешивания методами вычислительной гидродинамики по сравнению с расчетами по критериальным уравнениям и по моделям реакторов идеального смешения,

– приведена теория моделей идеальных реакторов, ячеечной модели, оценки степени отклонения от идеального перемешивания,

– приведена теория расчета методами вычислительной гидродинамики.

Результатом ознакомления с представленной в работе теорией и умелом ее применении в практике конструирования перемешивающих устройств, будет являться разработка наилучших и оптимальных конструкций химических и нефтяных аппаратов с перемешивающими устройствами. И как следствие, создание в КБ серьезного центра компетенций по проблемам этого оборудования, повышения престижа компании-производителя среди прочих.

__

Посвящается Господу Богу Иисусу Христу!

Благодарность моей маме Татьяне Викторовне, работавшей инженером в нефтяном машиностроении.

Расчет и проектирование валов

Рис.0 Аппараты с перемешивающими устройствами
Рис.1 Аппараты с перемешивающими устройствами
Рис.2 Аппараты с перемешивающими устройствами
Рис.3 Аппараты с перемешивающими устройствами

Основные требования к аппаратам с мешалками установлены ГОСТ 20680-2002. Аппараты, изготавливаемые по каталогам изготовителей считаются стандартными, аппараты, изготавливаемые по индивидуальному техническому проекту считаются нестандартными. Нестандартные аппараты могут иметь отступления в конструктивных параметрах от ГОСТ 20680.

Мешалки устанавливаются на консольных валах и пролетных валах, имеющих опору в днище аппарата.

Верхняя опора вала состоит из двух разнесенных подшипников, что создает дополнительный пролет. В расчете этот дополнительный пролет учитывается/не учитывается на усмотрение расчетчика.

Самая простая схема верхней опоры вала в состоит в креплении вала в плоском мотор-редукторе и использовании подшипников редуктора в качестве верхней опоры вала [1]:

В этом случае вал уплотняется манжетным кольцом в крышке аппарата, торцовые уплотнения не используются. К недостатку можно отнести отсутствие возможности измерения температуры подшипников и затруднение их обслуживания, ограничения по массе подвешиваемого вала.

Повышение температуры подшипников и выход их из строя могут привести к взрывоопасной ситуации. Как правило при превышении температуры подшипников, электродвигатель останавливается. В конструкциях без стойки-привода, подшипники установлены в мотор-редукторе и отсутствует возможность контроля температуры. И следовательно, такая конструкция менее взрывобезопасная. Поэтому по мнению автора настоящей работы, нужно использовать только конструкции со стойкой-приводом для условий работы, в которых необходима взрывобезопасность и контроль исправности подшипников. Идти на удешевление в ущерб безопасности по-видимому не следует.

Сложные конструкции верхних опор валов реализуются с использованием опорных стоек, например по данным ОСТ 26-01-1225-75…ОСТ 26-01-1228-75 «Приводы вертикальные для аппаратов с перемешивающими устройствами. Типы, конструкции и основные размеры»:

Реализация верхней опоры вала с использованием опорной стойки является наиболее технически обоснованным решением. Такое решение аналогично опорным стойкам для полупогружных насосов типа ХП. Стойки мешалок имеют более сложную конструкцию.

В опорной стойке устанавливается торцовое уплотнение с подведенной системой охлаждения (аналогично нефтяным насосам), две подшипника, один из которых выполняет функцию осевого удержания, второй функцию удержания от поворота в плоскости чертежа, соединительную муфту.

Их соединительных муфт предпочтительнее в применении стягивающая валы продольно-разъемная муфта:

Сравнивая конструкции верхней стойки со стойками полупогружных насосов [29], можно отметить, что для аппаратов с мешалками они более сложные.

Нижние опоры однопролетных валов конструктивно оформляют по типу опор по ОСТ 26-01-55-77:

Мощность электродвигателя подбирается на основании расчета по РД 26-01-90-85 «Механические перемешивающие устройства. Метод расчета». Однако, методики, заложенные в этом документе являются устаревшими и мощность следует выбирать по результатам расчета процесса перемешивания методом конечных элементов.

Валы конструктивно выполняются сплошного сечения, ступенчатыми, полыми (из трубы). В необходимых случаях на поверхность вала наносится защита.

Расчет валов на резонанс, прочность и жесткость выполняется по РД РТМ 26-01-72–82. Валы вертикальных аппаратов с перемешивающими устройствами, методы расчёта.

Методика РД РТМ 26-07-72-82 вызывает вопросы в части ее корректности.

Расчеты валов на резонанс в сравнении с методикой РД РТМ 26-07-72-82 более обоснованно выполнять напрямую с использованием теории колебаний или методом конечных элементов.

Расчет по теории колебаний может быть автоматизирован применением математических пакетов программирования таких как MathCAD.

Расчет методом конечных элементов является теоретически самым обоснованным методом расчета валов и выполняется в специальном программном пакете. Используемый программный пакет может выступать в роли стандарта по-умолчанию на расчет валов на резонанс.

Расчет валов на резонанс по теории колебаний

Колебания при вращении вала происходят в результате отсутствия равновесия между внутренними силами упругости металла и внешними динамическими нагрузками. При гармоническом колебании отклонение оси вала от прямой происходит по синусоиде, т. е.:

Рис.4 Аппараты с перемешивающими устройствами

Под степенью свободы понимается определение положения вала относительно системы координат с помощью одной координаты. Этой одной координате соответствует одна мешалка на валу.

Если колебания вала возникают из-за колебаний упругих внутренних сил, колебания являются свободными или собственными. Если под действием внешней силы по закону с заданной периодичностью, то колебания являются вынужденными.

Положительным расчетом вала на колебания является результат, по которому частота собственных колебаний не совпадает и не имеет близкого значения с критической частотой, т. е. с частотой вынуждающей силы.

При расчета по теории колебаний рассчитываются собственные и критические частоты. В случае их совпадения изменяется жесткость вала или устанавливается другая частота вынужденных колебаний.

Изменение жесткости вала связано с изменением статической деформации, которая связана со свободной частотой по формуле:

Рис.5 Аппараты с перемешивающими устройствами

На резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает при отсутствии внешних сопротивлений:

Рис.6 Аппараты с перемешивающими устройствами

При наличии ограничителей колебаний, при резонансе амплитуды не превышают какого-либо максимального значения. Для валов мешалок в условиях отсутствия элементов, ограничивающих колебания, важно обеспечить расчетом отсутствие совпадения частот свободных колебаний и резонанса. При разгоне вала до рабочих оборотов, происходит быстрый переход через резонансную частоту, не оказывающий влияния на вал.

Для значений частот, близких к резонансной возникают биения вала. Для случая вала мешалки при отсутствии сопротивлений биению, колебания имеют вид:

Рис.7 Аппараты с перемешивающими устройствами

Затухающие биения при отходе от частот, близких к резонансным имеет вид:

Рис.8 Аппараты с перемешивающими устройствами

Для получения формулы вынужденных колебаний с учетом сопротивлений к внешним силам добавляют периодическую возмущающую силу

Рис.9 Аппараты с перемешивающими устройствами
(к внешним силам прибавляется сила
Рис.10 Аппараты с перемешивающими устройствами
препятствующая движению).

Упругие колебания системы с одной степенью свободы в общем случае (вторые два члена формулы относятся к вынужденным колебаниям):

Рис.11 Аппараты с перемешивающими устройствами

Уравнения для всех трех приведенных случаев колебаний можно получить из него как частные случаи:

– собственные колебания без учета сопротивлений (f = 0, q = 0)

Рис.12 Аппараты с перемешивающими устройствами

– собственные затухающие колебания (вынуждающая сила W = 0, )

Рис.13 Аппараты с перемешивающими устройствами

– вынужденные колебания без учета сопротивлений (, в формуле получается, что первый член является вынужденными колебаниями, остальные два члена свободными колебаниями)

Рис.14 Аппараты с перемешивающими устройствами

Формула вынужденных колебаний получается из вторых двух членов уравнения упругих колебания после отбрасывания свободных колебаний и замены в формуле

Рис.15 Аппараты с перемешивающими устройствами

Т.е. вынужденные колебания являются гармоническими (так же как и собственные)

Рис.16 Аппараты с перемешивающими устройствами

Амплитуда вынужденных колебания находится возведением в квадрат указанных двух членов формулы и последующим сложением:

Рис.17 Аппараты с перемешивающими устройствами

Как видно из формулы амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна возмущающей силе, зависит от сравнительной частоты свободных р и вынужденных m колебаний, определяющих затухание свободных колебаний f.

При m<p амплитуда С приближается к статической деформации вала.

При m=p амплитуда С достигает больших величин, наступает явление резонанса вала.

В отсутствии сопротивлений произойдет разрушение вала через определенный промежуток времени.

При m>p амплитуда С стремиться к нулевому значению, колебания отсутствуют.

Приведем график амплитуд колебаний:

Рис.18 Аппараты с перемешивающими устройствами

Как видно из рисунка, при резонансной частоте происходит разрыв кривой прогиба вала и разрушение вала.

При расчете вала необходимо не допускать наличия расчетных частот в пределах биения, то есть в пределах близких к резонансной частоте для недопущения разрушения вала. Запас может превышать критическую частоту на 20 %. Такой запас, например, установлен для валов центробежных нефтяных насосов в ГОСТ 32601.

При сложении свободных и вынужденных колебаний получается результирующее колебание как результат наложения колебаний, колебание получается в форме биений:

Рис.19 Аппараты с перемешивающими устройствами

Для описания положения мешалки используется обобщенная координата, то есть независимая величина, которая определяет изменение формы оси вала (положение системы).

Обобщенной силой является сила, которая полностью определяет действующую систему сил.

Обобщенная координата и сила связаны формулировкой: в результате произведения приращения обобщенной координаты на обобщенную силу получается работа.

Движение вала с мешалкой описывается уравнениями в обобщенных координатах. Между обобщенными координатами и декартовыми координатами всегда существует зависимость в виде функции декартовых координат от обобщенных координат.

Из общего уравнения движения системы, полученного в декартовых координатах, получают уравнение движения в обобщенных координатах. В результате получается запись:

Рис.20 Аппараты с перемешивающими устройствами
Рис.21 Аппараты с перемешивающими устройствами

Для кинетическая энергия системы

Рис.22 Аппараты с перемешивающими устройствами

находится производная по обобщенным координате и скорости и после преобразований:

Рис.23 Аппараты с перемешивающими устройствами

Уравнение движения запишется в виде

Рис.24 Аппараты с перемешивающими устройствами

Силы, действующие на вал, зависят только от положения и не зависят от времени, скорости. В этом случае, согласно теоремы Кастильяно, обобщенная сила равна производной потенциальной энергии (при этом совершаемая работа переводит потенциальную энергию в кинетическую):

Рис.25 Аппараты с перемешивающими устройствами

По теореме Кастильяно [5,с.319] прогиб точки приложения сосредоточенной силы (P) равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе, а производная потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна обобщенному перемещению:

Рис.26 Аппараты с перемешивающими устройствами

В результате получается уравнение движения Лагранжа:

Рис.27 Аппараты с перемешивающими устройствами

__

Равновесное положение системы вала принимается за начало обобщенных координат, т. е.

Рис.28 Аппараты с перемешивающими устройствами

Кинетическая и потенциальная энергии системы:

Рис.29 Аппараты с перемешивающими устройствами
Рис.30 Аппараты с перемешивающими устройствами

-

коэффициенты инерции,

Рис.31 Аппараты с перемешивающими устройствами

– коэффициенты жесткости.

Существует форма записи обобщенного закона Гука [5,с.314], связывающая все силы и перемещения:

Рис.32 Аппараты с перемешивающими устройствами

В условиях равновесия:

Рис.33 Аппараты с перемешивающими устройствами
Рис.34 Аппараты с перемешивающими устройствами

С учетом этого, уравнение Лагранжа можно записать в виде системы линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Рис.35 Аппараты с перемешивающими устройствами

Частными решениями уравнений системы будут уравнения:

Рис.36 Аппараты с перемешивающими устройствами

В частных решениях (j = 0, 1,2,3…s):

Рис.37 Аппараты с перемешивающими устройствами

Частным решениям соответсвуют резонансные частоты колебаний.

Для неизвестных

Рис.38 Аппараты с перемешивающими устройствами
получают систему линейных однородных уравнений подстановкой полученного частного решения в приведенную систему уравнений (основные уравнения система малых колебаний с s степенями свободы):

Рис.39 Аппараты с перемешивающими устройствами

Полученная система уравнений имеет решение, отличное от нуля в случае равенства нулю определителя этой системы.

На этом основании записывается вековое уравнение (уравнение частот). Вековое уравнение является уравнением s-степени относительно:

Рис.40 Аппараты с перемешивающими устройствами

Искомые частота колебаний р и амплитуды μ, возникающие при этой частоте (k = 1,2,3…n), находятся из:

– основных уравнений системымалых колебаний с s степенями свободы,

– векового уравнения.

Вековое уравнение является уравнением s степени относительно k2. И из этого уравнения находятся все частоты свободных колебаний k системы.

Так как определитель Δk2 = 0, одно из уравнений системы при μ = 1 является следствием других уравнений системы. Последовательно подставляя в уравнения системы все полученные значения k2 получается система уравнений:

Рис.41 Аппараты с перемешивающими устройствами

Находятся значения коэффициентов μ:

Рис.42 Аппараты с перемешивающими устройствами
Рис.43 Аппараты с перемешивающими устройствами

– определитель матрицы, получаемый вычеркиванием из определителя

Рис.44 Аппараты с перемешивающими устройствами

первых столбца и строки.

Рис.45 Аппараты с перемешивающими устройствами

– минор элемента первой строки и

j

– го столбца со знаком (-1) основного

определителя

Рис.46 Аппараты с перемешивающими устройствами

Рис.47 Аппараты с перемешивающими устройствами

– коэффициенты распределения равные 1.

В результате частные решения первой системы уравнений:

Рис.48 Аппараты с перемешивающими устройствами

– первое главное колебание с частотой

k

1

и начальной фазой β

1

.

Рис.49 Аппараты с перемешивающими устройствами

– второе главное колебание с частотой

k

2

>

k

1

и начальной фазой β

2

.

Рис.50 Аппараты с перемешивающими устройствами

– третье главное колебание с частотой

k

3

>

k

2

и начальной фазой β

3

.

…..

Рис.51 Аппараты с перемешивающими устройствами

Коэффициенты

Рис.52 Аппараты с перемешивающими устройствами
определяют форму главных колебаний:

Рис.53 Аппараты с перемешивающими устройствами

– форму первого главного колебания,

Рис.54 Аппараты с перемешивающими устройствами

– форму второго главного колебания,

Рис.55 Аппараты с перемешивающими устройствами

– форму третьего главного колебания,

и тд.

Общее решение первой системы уравнений можно получить суммированием частных решений:

Рис.56 Аппараты с перемешивающими устройствами

2s неизвестные постоянных

Рис.57 Аппараты с перемешивающими устройствами
определяются по 2s и по начальным обобщенным скоростям
Рис.58 Аппараты с перемешивающими устройствами
и координатам
Рис.59 Аппараты с перемешивающими устройствами
:

Рис.60 Аппараты с перемешивающими устройствами

На основании приведенного выше, алгоритм полного исследования свободных колебаний системы с s степенями свободы состоит из следующих действий:

а) нахождение частот свободных колебаний kkk1, 2s из векового уравнения,

б) нахождение коэффициентов распределения

Рис.61 Аппараты с перемешивающими устройствами

в) нахождения амплитуд

Рис.62 Аппараты с перемешивающими устройствами
и начальных фаз
Рис.63 Аппараты с перемешивающими устройствами

Применение программы MathCAD

Яблонский отмечает [3,с.143] если число степеней свободы превышает 4, то доя полного решения задачи потребуется громадная вычислительная работы.

Однако, в настоящее время возможно применение математических пакетов таких как MathCAD.

Программа MathCAD позволяет для матриц выполнять нахождение определителя, решать матричные уравнения. Применение этой программы исключает выполнение громоздких ручных расчетов и позволяет по приведенному выше алгоритму получать точное решение без каких-либо приближенных методов.

MathCAD позволяет выполнять с матрицами символьные вычисления.

Для решения матричного уравнения типа:

Рис.64 Аппараты с перемешивающими устройствами

необходимо записать матрицу

Рис.65 Аппараты с перемешивающими устройствами

вставить определитель

Рис.66 Аппараты с перемешивающими устройствами

, вызвать команду «→».

В результате получается запись многочлена из определителя. Многочлен копируется в отдельное место. Выделяют переменную «Х» в многочлене и в панели инструментов выбирают полиноминальный коэффициент. В результате этого получится матрица с коэффициентами из полученного многочлена:

Рис.67 Аппараты с перемешивающими устройствами

Затем вызывается или записывается вручную команда polyroots, в которую добавляется полученная матрица в виде:

Рис.68 Аппараты с перемешивающими устройствами

М1 и М2 —являются корнями матричного уравнения.

Для подробного ознакомления с вычислением матриц в MathCAD следует обратиться к учебному пособию по программе.

__

Рассмотрим пример построения эпюры свободных колебаний

Рис.69 Аппараты с перемешивающими устройствами

Находим значение кинетической и потенциальной энергии:

Рис.70 Аппараты с перемешивающими устройствами

Находим коэффициенты инерции и жесткости системы:

Рис.71 Аппараты с перемешивающими устройствами

Для системы с 2 степенями свободы, уравнения частот записываются в виде:

Рис.72 Аппараты с перемешивающими устройствами

После выполнения операции исключения μ из системы двух уравнений, получается одно уравнение частот:

Рис.73 Аппараты с перемешивающими устройствами

Корни уравнения частот

Рис.74 Аппараты с перемешивающими устройствами

и

Рис.75 Аппараты с перемешивающими устройствами

определяют частоты свободных колебаний

k

1

и

k

2

(частоты главных колебаний системы).

Частота k1 (kk1 < 2) является основной частотой колебаний.

Значения коэффициентов инерции и жесткости подставляются в полученное уравнение частот:

Рис.76 Аппараты с перемешивающими устройствами

После преобразований:

Рис.77 Аппараты с перемешивающими устройствами

В условии примера

Рис.78 Аппараты с перемешивающими устройствами

Рис.79 Аппараты с перемешивающими устройствами

Корни:

Рис.80 Аппараты с перемешивающими устройствами

Значения частот k1 и k2 по результатам сопроматского расчета (см. работу Беляева [5]):

Рис.81 Аппараты с перемешивающими устройствами

С учетом этого значения корней:

Рис.82 Аппараты с перемешивающими устройствами

Коэффициенты распределения:

Рис.83 Аппараты с перемешивающими устройствами
Рис.84 Аппараты с перемешивающими устройствами

Эпюра главных колебаний:

Рис.85 Аппараты с перемешивающими устройствами

__

Форма эпюр подчиняется теореме об узлах собственных форм колебаний [4,с.120]. По этой теореме амплитуды для разных частот колебаний не имеют одинакового знака. То есть, если амплитуда первой формы положительная, то амплитуда остальных форм должна иметь минимально одну перемену знака. Число перемен знака или число узлов собственной формы колебаний m-го порядка равно m-1.

Бабаков [4,с.124] для балки с 3 точечными нагрузками приводит три возможные формы колебаний:

Рис.86 Аппараты с перемешивающими устройствами

__

Решение приближенным методом Релея

По методу Релея допускается:

– масса системы не изменяет типа колебаний

– перемещение системы при колебании имеют ту же форму, что и при статической деформации (сходство формы не означает равенство величин деформации).

Ошибка по методу Релея не превышает 1,5 % [2,с.60].

Метод Релея состоит в том, что в конкретный момент времени находится перемещение точек вала по формулам статической деформации. Для других моментов времени перемещения могут отличаться от выбранного момента времени. Так как действующая на вал сила Р, состоящая из веса груза и сил инерции

Рис.87 Аппараты с перемешивающими устройствами
зависит от времени.

__

Рассмотрим по методу Релея колебания консольной балки (вала) с защемленным концом [2,с.73].

Рис.88 Аппараты с перемешивающими устройствами

р – круговая частота собственных колебаний в этом примере и ниже.

Обобщенное перемещение:

Рис.89 Аппараты с перемешивающими устройствами

Кинетическая энергия груза:

Рис.90 Аппараты с перемешивающими устройствами

в этом уравнении квадрат скорости

Рис.91 Аппараты с перемешивающими устройствами

Кинетическая энергия элемента балки dc:

Рис.92 Аппараты с перемешивающими устройствами

Уравнение упругой линии:

Рис.93 Аппараты с перемешивающими устройствами

Минуя выкладки, полная кинетическая энергия системы:

Рис.94 Аппараты с перемешивающими устройствами

Потенциальная энергия системы:

Рис.95 Аппараты с перемешивающими устройствами

Уравнение Лагранжа:

Рис.96 Аппараты с перемешивающими устройствами

В этом уравнении круговая р0 частота:

Рис.97 Аппараты с перемешивающими устройствами

Статический прогиб на консоли балки:

Рис.98 Аппараты с перемешивающими устройствами

И

Рис.99 Аппараты с перемешивающими устройствами

Решение уравнения

Рис.100 Аппараты с перемешивающими устройствами
:

– период колебания

Рис.101 Аппараты с перемешивающими устройствами

– частота

Рис.102 Аппараты с перемешивающими устройствами

– круговая частота

Рис.103 Аппараты с перемешивающими устройствами

__

Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорной однопролетной балки (вала), нагруженной сосредоточенной силой посередине [2,с.65].

Рис.104 Аппараты с перемешивающими устройствами

Обобщенное перемещение:

Рис.105 Аппараты с перемешивающими устройствами

Кинетическая энергия груза:

Рис.106 Аппараты с перемешивающими устройствами

Уравнение упругой линии:

Рис.107 Аппараты с перемешивающими устройствами

Интегрируя последовательно:

Рис.108 Аппараты с перемешивающими устройствами

Прогиб:

Рис.109 Аппараты с перемешивающими устройствами

Прогиб посередине пролета:

Рис.110 Аппараты с перемешивающими устройствами

Следовательно,

Рис.111 Аппараты с перемешивающими устройствами

Как видно, прогибы x и xc являются динамическими прогибами, а не статическими, и имеют переменное значение, зависящее от времени.

Так, формула прогиба

Рис.112 Аппараты с перемешивающими устройствами
имеет переменное от времени значение так как сила Р, состоящая из веса груза и сил инерции
Рис.113 Аппараты с перемешивающими устройствами
зависит от времени.

Кинетическая энергия стержня:

Рис.114 Аппараты с перемешивающими устройствами

Полная кинетическая энергия системы:

Рис.115 Аппараты с перемешивающими устройствами

Потенциальная энергия системы:

Рис.116 Аппараты с перемешивающими устройствами

Уравнение Лагранжа:

Рис.117 Аппараты с перемешивающими устройствами

Эта формула аналогична формуле

Рис.118 Аппараты с перемешивающими устройствами
движения груза, подвешенного на пружине, имеющий общий интеграл
Рис.119 Аппараты с перемешивающими устройствами
.

Используя этот интеграл находим:

– период:

Рис.120 Аппараты с перемешивающими устройствами

– частоту

Рис.121 Аппараты с перемешивающими устройствами

– круговая частота

Рис.122 Аппараты с перемешивающими устройствами

Если собственную массу балки не учитывать:

Рис.123 Аппараты с перемешивающими устройствами

Т.е. к массе мешалки необходимо прибавить

Рис.124 Аппараты с перемешивающими устройствами
от веса вала.

__

Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорной однопролетной балки (вала), нагруженной сосредоточенной силой в произвольном положении [2,с.70].

Рис.125 Аппараты с перемешивающими устройствами

Обобщенное перемещение:

Рис.126 Аппараты с перемешивающими устройствами

Кинетическая энергия груза:

Рис.127 Аппараты с перемешивающими устройствами

Кинетическая энергия элемента балки dc:

Рис.128 Аппараты с перемешивающими устройствами

Уравнение изогнутой оси балки (вала):

Рис.129 Аппараты с перемешивающими устройствами

В точке приложения груза:

Рис.130 Аппараты с перемешивающими устройствами
Рис.131 Аппараты с перемешивающими устройствами
Рис.132 Аппараты с перемешивающими устройствами

При

Рис.133 Аппараты с перемешивающими устройствами
формула имеет вид, как для предыдущего примера:

Рис.134 Аппараты с перемешивающими устройствами

Потенциальная энергия системы:

Рис.135 Аппараты с перемешивающими устройствами

Уравнение Лагранжа:

Рис.136 Аппараты с перемешивающими устройствами

Для статического удлинения k необходим груз:

Рис.137 Аппараты с перемешивающими устройствами

Находим:

– период

Рис.138 Аппараты с перемешивающими устройствами

– частоту

Рис.139 Аппараты с перемешивающими устройствами

– круговая частота

Рис.140 Аппараты с перемешивающими устройствами

__

Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорного однопролетного вала, нагруженной двумя произвольно приложенными сосредоточенными силами [2,с.76].

Рис.141 Аппараты с перемешивающими устройствами

Ограничения метода Релея приводят систему к системе с 1 степенью свободы. При точном рассмотрении системы, она имеет множество степеней свободы.

Перемещение каждого груза:

Рис.142 Аппараты с перемешивающими устройствами

Наибольшие перемещения грузов являются амплитудой для

Рис.143 Аппараты с перемешивающими устройствами
, для
Рис.144 Аппараты с перемешивающими устройствами

Скорости грузов:

Рис.145 Аппараты с перемешивающими устройствами

Максимальная скорость при

Рис.146 Аппараты с перемешивающими устройствами

Рис.147 Аппараты с перемешивающими устройствами

Максимальная скорость соответсвует переходу точки через статическое равновесие, т. к. фаза pt равна 0° или 180° при положении точки с на оси балки.

Скорость колебаний переменная, так как колебание происходит по закону синусоиды, например,

Рис.148 Аппараты с перемешивающими устройствами
. При изменении положения и скорости точки, меняется энергия колебания. При колебании происходит непрерывный взаимный переход кинетической энергии в потенциальную.

Сумма энергий постоянна и является полной энергией системы при рассмотрении идеального случая без потерь:

Рис.149 Аппараты с перемешивающими устройствами

Для какого-либо конкретного положения системы:

Рис.150 Аппараты с перемешивающими устройствами

При нахождении точки на оси абсцисс (оси вала), потенциальная энергия равна нулю, кинетическая максимальная:

Рис.151 Аппараты с перемешивающими устройствами

Т.е. вся полная энергия системы является максимальной кинетической энергией.

Для фазы pt равной 90° или 270° кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальная:

Рис.152 Аппараты с перемешивающими устройствами

Т.е. вся полная энергия системы является потенциальной энергией.

Можно записать:

Рис.153 Аппараты с перемешивающими устройствами

Для случая рассматриваемого груза:

Рис.154 Аппараты с перемешивающими устройствами

Из этой формулы находится круговая частота:

Рис.155 Аппараты с перемешивающими устройствами

Период колебаний:

Рис.156 Аппараты с перемешивающими устройствами

___

Для трех грузов на валу, круговая частота запишется по формуле:

Рис.157 Аппараты с перемешивающими устройствами

__

Для n грузов круговая частота запишется по формуле:

Рис.158 Аппараты с перемешивающими устройствами

Как можно видеть, определение круговой частоты сводится к нахождению статических прогибов. Прогибы могут быть также найдены графоаналитически.

Для одного груза круговая частота запишется по формуле:

Рис.159 Аппараты с перемешивающими устройствами

__

Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорного однопролетного вала, нагруженной распределенной нагрузкой [2,с.81].

Мешалки являются сосредоточенной нагрузкой на валу и пример приводится для сведения.

Рис.160 Аппараты с перемешивающими устройствами

Балка с распределенной нагрузкой условно разбивается на ряд участков с заменой распределенной нагрузки, приходящейся на каждый участок, сосредоточенной силой, приложенной по центру тяжести участка.

Колебания системы с распределенной нагрузкой находятся по приведенной выше формуле:

Рис.161 Аппараты с перемешивающими устройствами

Точность решения зависит от числа n участков.

Прогибы находят по уравнению упругой линии с равномерно распределенной нагрузкой:

Рис.162 Аппараты с перемешивающими устройствами

Для 8 участков (8 прогибов):

Рис.163 Аппараты с перемешивающими устройствами

С учетом этого, уравнение упругой линии:

Продолжить чтение